কতজন শিশুর মধ্যে কোন ফল না ভেঙ্গে ১১৫ টি কমলা এবং ১৩৫ টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, কিছু ফল কোনো রকম না ভেঙে কতজন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেওয়া যাবে। এর অর্থ হলো, শিশুদের সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যা কমলার সংখ্যা (115) এবং কলার সংখ্যা (135) উভয়কেই সম্পূর্ণরূপে ভাগ করতে পারে। যেহেতু 'কতজন শিশুর মধ্যে' বলতে সর্বোচ্চ সংখ্যক শিশুকে বোঝানো হচ্ছে, তাই আমাদের 115 এবং 135 এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু. বা Greatest Common Divisor - GCD) নির্ণয় করতে হবে।

দেওয়া আছে:

কমলার সংখ্যা = 115 টি

কলার সংখ্যা = 135 টি

কমলা এবং কলা কোনো ফল না ভেঙে শিশুদের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়ার জন্য, শিশুদের সংখ্যা অবশ্যই 115 এবং 135 এর গ.সা.গু. হতে হবে।

আমরা দুটি পদ্ধতিতে গ.সা.গু. নির্ণয় করতে পারি:

১. মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি:

    
• 115 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হলো: \(115 = 5 \times 23\)
    
• 135 এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হলো: \(135 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3^3 \times 5\)

উভয় সংখ্যার মধ্যে একমাত্র সাধারণ মৌলিক উৎপাদক হলো 5।

সুতরাং, 115 এবং 135 এর গ.সা.গু. হলো 5।

২. ভাগ পদ্ধতি (ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম):

বড় সংখ্যাকে ছোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে এবং এই প্রক্রিয়াটি চালিয়ে গিয়ে আমরা গ.সা.গু. পাই:

\(135 = 115 \times 1 + 20\)

\(115 = 20 \times 5 + 15\)

\(20 = 15 \times 1 + 5\)

\(15 = 5 \times 3 + 0\)

যেহেতু শেষ অশূন্য ভাগশেষটি হলো 5, তাই 115 এবং 135 এর গ.সা.গু. হলো 5।

অতএব, 5 জন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙে কমলা ও কলা ভাগ করে দেওয়া যাবে।

এ ধরনের সমস্যায়, প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করেও সঠিক উত্তরটি যাচাই করা যেতে পারে। যে সংখ্যাটি 115 এবং 135 উভয়কেই সম্পূর্ণরূপে ভাগ করতে পারবে, সেটিই হবে সম্ভাব্য উত্তর।

    
• অপশন 1 (7): 7 দিয়ে 115 বা 135 কোনোটিই বিভাজ্য নয়।
    
• অপশন 2 (5): 5 দিয়ে 115 (\(115 \div 5 = 23\)) এবং 135 (\(135 \div 5 = 27\)) উভয়ই সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য।
    
• অপশন 3 (15): 15 দিয়ে 115 বিভাজ্য নয় (\(115 \div 15 = 7\) এবং ভাগশেষ 10)।
    
• অপশন 4 (10): 10 দিয়ে 115 বা 135 কোনোটিই সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য নয়।

সুতরাং, অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র 5 দিয়েই উভয় ফলকে সম্পূর্ণরূপে ভাগ করা সম্ভব, এবং এটিই গ.সা.গু.।